- WebページにLIFFを導入し、LIFF URL(https://liff.line.me/xxxxx)を作成
- リッチメニューの遷移先にLIFF URLを設定
- Webページで liff.getAccessToken() でaccess tokneを取得
- access tokenを使用して取得したユーザー情報を使って自社サイトにログイン
上記手順で実現可能かと思います。
端末が切り替わったり時間がたつとLINEから再ログインが必要になるのですが
アカウントが同一であれば、取得できるユーザー情報は同じであるため 別端末でもログインが可能になります。
参考: https://developers.line.biz/ja/reference/liff/#get-access-token